Cher lecteur,
apprendre la trigonométrie nous fut laborieux. On vous présente un cercle, puis on vous parle de sinus et de cosinus... puis en vient les calculs, les équations où vous devez trouver des solutions générales, les formules et vous auriez dit que une armée de cauchemars envahirent votre monde !
Ce monde, qui semble simple... s'est révélé être bien plus grand que ce que vous croyiez, et depuis vous avez des visions terribles du passé à chaque voix que vous regardez un cercle.
Un peu comme après le chapitre sur les produits scalaires, lorsque vous vous mettez à regarder deux droits perpendiculaires sur un cadre et que vous pensez à un produit scalaire ou même quand vous vous mettez à voir les bords d'une table rectangulaire... (basé sur une histoire vraie).
Cependant, ce monde contient des personnages que nous n'avons pas encore rencontré : là où l'étude des cercles vas plus loin que les trois fonctions élémentaires cos, sin et tan... on entre dans un univers secret là où les opérations deviennent plus compliquées tout en gardant leur utilité.
Mais n'ayez pas peur, je suis là pour vous guider à travers ce chemin sombre et l'éclairer... afin que vous n'ayez plus peur de l'inconnu, mais que vous en fassiez de lui un ami plutôt qu'un ennemi.
I - Les nouveaux invités sont arrivés !
A) La fonction cosh(x).
Supposons que une fonction est paire, c'est-à-dire, une partie de celle-ci pour laquelle f(x)=f(-x). Or, imaginons que l'on veut la rechercher.
Alors, on veut f(x) tel que f(x)=f(-x).
On suppose f(x) pair.
Plus extensivement, sachant que f(x)=f(-x), on veut pouvoir exprimer la partie paire p(x) de f(x).
Alors, on fera la somme f(x)+f(-x).
f(x)+f(-x)=2f(x).
On aura alors besoin de diviser par 2 pour avoir al partie paire, et on aura : p(x)=2f(x)/2=f(x). Ce résultat est juste, sachant qu'on considère une fonction paire.
Dans le cas où on cherche la partie impaire i(x) de f(x), on aura : i(x)=(f(x)+f(-x))/2, or sachant que si f(x) admet une partie impaire alors ce sera une partie telle que f(-x)=-f(x) on aura, i(x)=(f(x)-f(x))/2=0.
Ici, nous allons admettre un résultat vrai, qui est que toute fonction peut être décomposée en la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Ce résultat est vrai, mais nous n'allons pas directement le démontrer.
Le résultat est alors posé.
Intéressons nous à la fonction exponentielle, imaginons que l'on veut rechercher sa partie paire soit la partie où e^x=e^-x.
Alors, on va faire l'opération précédente avec p(x) :
p(x)=(e^x+e^-x)/2
Ainsi, l'on a la partie paire de la fonction exponentielle, sachant que l'on ne peut pas simplifier davantage l'expression.
On va nommer cette fonction cosh(x), la partie paire de la fonction exponentielle.
La fonction est aussi parfois nommée ch(x).
Sa courbe représentative est la suivante :
Par lecture graphique, on remarque que pour tout x différent de 0, cosh(x) est paire. On observe en effet que l'axe des ordonnées est l'axe de symétrie.
On observe aussi que pour tout x, cosh(x) est supérieur ou égal à 1.
B) La fonction sinh(x).
Après avoir vu que la fonction exponentielle admet une expression pour sa partie paire, nous pouvons rechercher sa partie impaire.
Une fonction est impaire si f(x)=-f(-x), d'où :
f(x)+f(-x)=0
Or, on veut la partie impaire de f(x). Soit la partie pour laquelle on aura f(x)=-f(-x).
On sait que une fonction est constituée de sa partie paire et de sa partie impaire.
D'où : f(x)=p(x)+i(x).
Ainsi, pour l'exponentielle :
e^x=(e^x+e^-x)/2 + i(x).
On résout pour i(x).
e^x - (e^x+e^-x)/2 = i(x)
D'où : i(x) = (2e^x-e^x-e^-x)/2, ainsi on a la partie impaire de e^x telle que :
i(x)=(e^x-e^-x)/2.
On va appeler la partie impaire de l'exponentielle la fonction sinh(x).
On peut la représenter également graphiquement :
On observe que la fonction sinh(x) est impaire, l'axe de symétrie étant l'axe des abscisses.
On observe également que sinh(x) n'est pas borné. Une autre manière de faire référence à la fonction sinh(x) est la fonction sh(x) qui est simplement une écriture différente de celle-ci.
On sait que la somme des parties paires et impaires va amener à la fonction.
On déduit :
e^x=cosh(x)+sinh(x).
C) La fonction tanh(x).
Vous vous souvenez de la fonction tangente ?
Telle que : tan(x)=sin(x)/cos(x).
De façon analogue, on va poser :
tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)
Dès alors, en simplifiant, on aura :
tanh(x)=(e^x-e^-x)/(e^x+e^-x)
On peut alors représenter tanh(x) graphiquement :
On observe que tanh(x) semble minoré par 1 et majoré par 1.
On peut en effet rechercher les limites :
On peut astucieusement factoriser par e^x, on a ainsi : tanh(x)=(1-1/e^2x)/(1+1/e^2x)
Soit, lim (1-1/e^2x) quand x tend vers + infini = 1.
Soit lim (1+1/e^2x) quand x tend vers + infini = 1.
Ainsi, par quotient, lim tanh(x) quand x tend vers + infini = 1.
Pour la limite quand x tend - infini, on peut astucieusement factoriser tanh(x) par e^-x, donnant :
tanh(x)= (e^-x(e^2x-1))/(e^-x(e^2x+1)). Soit tanh(x)=(e^2x-1)/(e^2x+1)
Or, lim e^2x quand x tend vers -infini =0
Ainsi, par somme : lim (e^2x-1) quand x tend vers -infini = -1
lim (e^2x+1) quand x tend vers -infini = 1.
Par quotient, lim tanh(x) quand x tend vers -infini = -1.
On trouve bien que -1 est inférieur ou égal à tanh(x) et que 1 est supérieur ou égal à tanh(x).
De plus, on observe que la fonction tanh(x) est impaire pour tout x, l'axe de symétrie étant celui des abscisses.
On peut aussi dériver tanh(x), ce qui nous donnera :
(tanh(x))'=((e^-x+e^-x)(e^x+e^-x)-(e^-x-e^-x)(e^x-e^-x))/(e^x+e^-x)²)
Ainsi, on aura :
(tanh(x))'=(e^2x+2+e^-2x)-(e^2x-2+e^-2x)/(e^x+e^-x)²=(e^x-e^x-2-2+e^-2x e^-2x)/(e^x+e^x)²=4/((e^x+e^-x)²=1/(cosh(x)²)
D'où la dérivée de tanh(x) est 1/cosh(x)².
Ainsi, il s'agit de l'inverse de la fonction cosh(x)². Sachant que on a un carré, la fonction tanh(x) sera donc croissante en vu du signe de la dérivée.
D) La fonction sécante sec(x).
Revenons en aux sources, à notre magnifique cercle trigonométrique.
Notre cercle est un cercle de rayon 10.
Ainsi, l'on établit théta=x.
On a alors :
Imaginons maintenant que on veuille trouver la sécante entre le cosinus et le sinus du point et la représenter sur ce cercle.
On pose O, l'origine. I, le point d'intersection. Ainsi que les point A et B.
On observe, que on a un triangle rectangle AOI, rectangle en A.
Soit :
On va appeler la fonction définissant la sécante sec(x).
On va ainsi poser : sec(x)=1/cos(x)
La représentation graphique de la fonction sécante est la suivante :
Elle semble assez étrange, en effet, elle possède plusieurs propriétés :
-Elle admet une période de 2 pi.
-Sa dérivée est sin(x)/cos(x)².
-Il s'agit d'une fonction paire, comme on observe que elle possède un axe de symétrie qui est l'axe des ordonnées.
E) La fonction coth(x).
La fonction coth(x) est définie comme l'inverse de tanh(x).
Soit coth(x)=(cosh(x))/(sinh(x)).
Sa dérivée, par calcul, est : -1/sinh(x)².
Sa représentation graphique est la suivante :
On observe qu'elle est strictement croissante, de plus elle est impaire. On a aussi une asymptote en x=0, la fonction est définie sur les réels négatifs et positifs sauf 0.
2) Propriétés des fonctions hyperboliques.
Cherchons la dérivée de cosh(x).
Alors, on dérive (e^x+e^-x)/2.
Soit, on dérive 1/2 * (e^x+e^-x)'.
D'où, l'on a : cosh'(x) = 1/2 * (e^x - e^-x)
Or, on observe qu'il s'agit de la fonction sinh(x) d'où la fonction sinh(x) est la dérivée de cosh(x).
De la même manière, sachant que la dérivée de -e^-x est e^-x, on observe que la dérivée de cosh(x) est sinh(x).
On admettra ensuite les propriétés suivantes :
cosh(x)²-sinh(x)²=1
(tanh(x))'=1-tanh(x)=1/cosh(x)²
Pour l'addition :
sinh(x + y) = sinh(x)cosh(y) + cosh(x)sinh(y)
cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + sinh(x)sinh(y)
tanh(x + y) = (tanh(x) + tanh(y)) / (1 + tanh(x)tanh(y))
Formules additionnelles (ressemblant aux formules de duplication) :
sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)
cosh(2x)=2cosh(x)²-1=1-2sinh(x)²
tanh(2x)=(2tanh(x))/(1+tanh(x)²)
On peut par ailleurs établir les tableaux de variations suivant pour chacune des fonctions hyperboliques citées.
Pour la fonction cosh(x) :
Pour la fonction sinh(x) :
Pour la fonction tanh(x) :
Pour la fonction sec(x) :
Pour la fonction coth(x) :
Enfin, le saviez-vous que les fonctions hyperboliques ont un lien aux nombres complexes ?
En effet, les fonctions hyperboliques sont les valeurs des fonctions trigonométriques usuels pour les imaginaires purs.
Comme quoi... le monde est... VRAIMENT bien fait !
Cet article fut unique, mais j'espère qu'il vous a éclairé sur les fonctions hyperboliques. Elles ont des intérêts réels en mathématiques avancés et d'autres usages uniques, elles peuvent notamment apparaitre aux concours pour les écoles d'ingénieurs d'où vient un autre intérêt de les étudier. Elles possèdent des applications, et restent utiles malgré leur aspect assez étrange et unique chacune ayant une courbe plus surprenante que la dernière.
Mais dans un monde plein de surprises, la découverte est ce qui enrichi l'esprit et apporte en sagesse.
-DAOUADI Zine-Eddine.
Cet article est mis à votre disposition sous la licence Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0).
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