Les polynômes interpolateurs de Lagrange : bienvenue dans le monde où tout est possible !

Cher lecteur.

Vous vous souvenez des polynômes, oui ? Ces équations du type ax²+bx+c=0 où nous avions des paraboles et des racines et où l'on doit généralement analyser ou exploiter leurs propriétés pour établir des déductions logiques sur des fonctions.

Cela est intéressant, et si vous êtes malins, votre enseignant vous a appris a générer un polynôme avec deux racines spécifiques et à le visualiser.

Or, mesdames et messieurs, et si l'on voulait-aller plus loin ? Et si, l'on voulait créer des polynômes dont on pourrait choisir exactement la valeur en certains points d'abscisses ? 

Ambitieux, certes mais laissez moi vous montrez que l'ambition ne laisse pas lieu à l'impossibilité !

I - Présentation.

Imaginons nous un cas simple, nous voulons une fonction f(x) tel que :

f(1)=e

f(2)=e/2

f(3)=pi

f(4)= (1 + sqrt(5))/2 

Nous pouvons tracer une telle fonction à la main. En effet, il suffit de placer les points puis de tracer une courbe. 

Nous avons déjà les points sur le repère orthonormé :

On peut ensuite les relier :

En utilisant la définition usuelle de la continuité, cela veut dire que la fonction représentée, pouvant être tracée à la main, est continue. On pourrait très bien se met à rechercher la fonction ici tracée, or recherchons c'est une fonction qui admet les points donnés comme image en x.

On sait qu'un polynôme est, par définition continu. 

On peut alors rechercher un polynôme tel que on ait les points recherchés pour une fonction f(x) qui est un polynôme du second degré.

Note :

On appelle les problèmes où on cherche à trouver une fonction qui satisfait un certain ensemble de points des problèmes d'interpolation.

L'idée des polynômes de Lagrange est de créer des fonctions tels que chacune génère un point à un abscisse donné et de les "assembler" afin d'obtenir une fonction qui satisfait la condition initiale.

II - Application.

Revenons au polynôme que l'on recherche.

On va se définir un polynôme L_i que l'on nommera polynôme interpolateur de Lagrange pour chaque point.

Définition :

Pour n, appartenant à N, et a_0, ..., a_n distincts deux à deux, les polynômes interpolateurs de Lagrange sont les polynômes associés à {a_0, ..., a_n} tels que :

On pose i tel l'indice du point que l'on veut interpoler. On rappelle que le symbole pi capital fait référence au produit successifs à la manière dont le symbole sigma fais référence à une somme successive de nombres.

Notre but sera d'obtenir ce que l'on appelle un polynôme interpolateur de Lagrange. 

Cette formule fait peut être peur, mais elle n'est pas si difficile à aborder !

On va poser nos points (x_i, y_i) tels que :

(1,e)

(2,e/2)

(3, pi)

(4, ((1 + sqrt(5))/2) 

Ainsi, l'on va rechercher pour chaque L_i(x) :

On aura :

L_1(x)= (x-2)(x-3)(x-4)/(1-2)((1-3)(1-4)= (x-2)(x-3)(x-4)/(-1)*(-2)*(-3)=(x-2)(x-3)(x-4)/-6 

L_2(x)=(x-1)(x-3)(x-4)/(2-1)(2-3)(2-4)=(x-1)(x-3)(x-4)/(1)*(-1)*(-2)=(x-1)(x-3)(x-4)/2 

L_3(x)=(x-1)(x-2)(x-4)/(3-1)(3-2)(3-4)=(x-1)(x-2)(x-4)/(2)*(1)*(-1)=(x-1)(x-2)(x-4)/(-2)

L_4(x)=(x-1)(x-2)(x-3)/(4-1)(4-2)(4-3)=(x-1)(x-2)(x-3)/(3)*(2)*(1)=(x-1)(x-2)(x-3)/6

Ainsi, l'on a :

L_1(x)=(x-2)(x-3)(x-4)/-6 

L_2(x)=(x-1)(x-3)(x-4)/2 

L_3(x)=(x-1)(x-2)(x-4)/(-2)

L_4(x)=(x-1)(x-2)(x-3)/6

On les appelle des polynômes dans la base de Lagrange et ils vont nous servir à trouver le résultat final.

On peut vérifier cela graphiquement : 

On obtient ainsi, si je me le permet de le dire une représentation absolument magnifique de ces fonctions :

Or, en plus de sa beauté on remarque quelques faits intéressants.

Pour L_2(x), en x=2 on observe que on a une image de 1.

De plus, pour les autres fonctions, la valeur de leur indice  i est aussi là où on observe que la valeur qu'elles prennent vaut 1. 

On en déduit que pour un des indice i, on a : L_i(i)=1. 

On observe également que pour les autres points définis, à l'indice différent tels que L_i(x) avec x différent de i et x appartenant à l'intervalle de définition du premier indice 1 défini jusqu'à l'indice n final avec i exclu, les valeurs sont nulles pour chaque polynôme de base de Lagrange.

Par exemple, L_1(2)=0, et L_1(3)=0 et L_1(4)=0.

On peut alors se demander, où justement aller à partir d'ici... et si on essayait de faire la somme de ces polynômes ?

En effet, on se souvient que la somme de polynôme aux racines différentes agira de la façon suivante :

O(x)=O_1(x) + O_2(x)

Soit, quand O_2(x) sera nul, on aura O(x)=O_1(x) pour la valeur en question à la question que les polynômes n'aient pas les mêmes racines.

En appliquant, un raisonnement analogue... on déduit que l'on peut faire la somme des polynômes représentés et que en un point comme 1 par exemple, on aura :

P(x)=L_1(x) 

Cela, en vu du fait que l'on a remarqué que pour des valeurs différentes de leurs indices respectif de x comprises dans l'intervalle de définition de leurs indices avec i exclu, les polynômes sont nuls. 

Ainsi, l'on aura, sachant que sur le point où l'indice et la valeur de x sont les mêmes pour un L_i(x) :

P(x)=1 

Or, c'est là où il est judicieux de réfléchir car on aura une valeur de 1 pour le polynôme non nul qui sera le seul compté.

Dès alors, ne peut-on pas trouver un moyen de retrouver les valeurs originelles ?

Simplement, on peut multiplier 1 par le nombre que l'on recherche à chaque calcul.

Ainsi, P(1)=e * L_1(1) = e

P(2) = e/2 * L_2(2) = e/2

P(3) = pi * L_3(3) = pi

P(4) = ((1+sqrt(5))/2) * L_4(4) = ((1+sqrt(5)/2)

On retrouve bien les valeurs, on en déduit sachant que en fonction de x le polynôme P(x) est une somme que le polynôme interpolateur de Lagrange que l'on recherche est :

P(x)= e * L_1(x) + e/2 * L_2(x) + pi * L_3(x) + (((1+sqrt(5))/2) 

On a résolu notre problème.

On peut, ainsi généraliser que le polynôme P(x) final pour des indices i sera :

Ce résultat est assez unique, et il nous permet directement pour un nombre n de points aux propriétés uniques de déterminer une fonction qui renvoie une valeur spécifique pour un x donné.

Il s'agit, précisément, d'un générateur de polynômes, incroyable non ?

III - Pourquoi utilise-t-on les polynômes interpolateurs de Lagrange ?

On utilise les polynômes interpolateurs de Lagrange pour pas mal de raisons, tout d'abord c'est intuitif et il s'agit d'une méthode qui une fois comprise, ne se résume qu'à s'arranger afin d'avoir des valeurs spécifiques en des points pour obtenir ce que l'on veut en manipulant des fonctions.

On peut voir quelques propriétés intéressantes liées aux polynômes interpolateurs de Lagrange :

-Pour tout i, appartenant à un nombre naturel compris entre 0 et n, le polynôme L_i est de degré n.

-La somme des polynômes interpolateurs de Lagrange L_i(x) avec i allant de 0 à n est égal à 1.

On peut aussi utiliser les polynômes interpolateurs de Lagrange si l'on le souhaite pour tracer des fonctions et espérer obtenir une courbe précise voir se rapprocher d'une courbe spécifique à grande échelle. 

Cependant, il faut être attentif, le phénomène de Runge démontre que l'on ne peut pas faire cela constamment et est même observable à travers une interpolation de Lagrange pour un nombre de points élevés. 

Le phénomène de Runge étant un phénomène qui s'observe par le fait que lorsqu'on interpole un grand nombre de points, la représentation de la courbe ne vas pas nécessairement correspondre avec celle que l'on souhaite obtenir.

Le domaine de l'interpolation, est un domaine extrêmement intéressant sachant qu'il permet de chercher à réaliser des approximations et à tracer des courbes spécifiques.

Les méthodes d'interpolation varient, on a l'interpolation par splines qui varie à celle polynômiale, l'interpolation de fonctions à bases radiales et l'interpolation de l'Hermite.

Il s'agit d'un domaine intéressant que l'on ne voit pas forcément tout les jours et je me suis dit qu'il serait pertinent d'en faire un article afin de non seulement vous permettre de le découvrir mais aussi car nous n'en entendons pas forcément parler là en recherche où un grand nombre d'articles sont principalement focalisés en analyse ou en arithmétique avec les nombres premiers et leurs propriétés. 

Malgré tout, je crois avec sincérité que les mathématiques ne se limitent pas à l'étude d'un domaine unique mais à la compréhension des nombres et de leurs relations, cela en explorant complétement les territoires non découverts et en créant les portes qui nous amèneront à nous surpasser... et à évoluer. 

-DAOUADI Zine-Eddine.

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