Les tenseurs, gradients, contravarients & covariants, divergence et rotationnels : le dîner est servi !
Cher lecteur,
Au lycée, nous sommes habitués à étudier plusieurs types d'éléments sur lesquels on applique des opérations : les nombres, les vecteurs et pour les plus braves les matrices !
Or, on peut se demander, qu'est-ce qu'il y'a si l'on vas au delà des matrices ?
Imaginons qu'on veut représenter un ensemble de nombres dans un cube à la place d'un tableau, ou encore dans un hypercube en 4d voire en un cube 5d...
Assez compliqué à imaginer... or si vous êtes malins, vous observez que passer d'un vecteur à une matrice, c'est ajouter une dimension (ici la dimension horizontale) à un vecteur. Parallèlement, passer d'un nombre à un vecteur, c'est ajouter une dimension à un nombre.
Or, et s'il y'avait un moyen de généraliser cette idée ?
Mesdames et monsieur, laissez moi vous introduire au monde des tenseurs : là où l'on brise les limites de ce que l'on perçoit et où on découvre le calcul sous un nouvel angle plus approfondi !
Or, je ne vais pas me contenter de cela : aujourd'hui je vous offre un dîner digne du guide Michelin, nous allons explorer les gradients, la divergence et le rotationnel !
Cela, tout en approfondissant les notions de vecteurs avec les vecteurs contravariants et covariants.
Pourquoi tant, vous devez vous demander ? J'ai décidé, pour cet article de me surpasser mais aussi de faire une présentation de ces notions qui sont utiles à la prépa. J'ai notamment essayé de rendre le sujet le plus compréhensible possible, ayant moi-même à faire beaucoup de recherche !
I - Posons les bases.
Un nombre peut être vu comme un point sur une feuille de papier. On considère un point comme un élément sans dimension.
Alors, imaginons nous ajouter une dimension, on a alors une droite sur notre feuille de papier.
Rajoutons une autre dimension, on a alors un espace orthonormé qui contient le point.
Dès alors, faisons une expérience de pensée :
Avant l'ajout de dimension, il était impossible de situer le point, c'était le seul élément qui existait.
Après l'ajout d'une dimension, l'on peut situer quelque part sur la droite des ordonnées le point.
Or, après l'ajout d'une autre dimension, l'on peut considérer que le point est associé à un emplacement sur la droite principale et la droite des ordonnées.
Dès alors, comment décrire un point dans un espace à N coordonnées ?
Cette tâche peut sembler futile, or elle est extrêmement utile en Physique.
Nous pouvons considérer la position d'un objet dans un espace à trois coordonnées ou même la position d'un objet en fonction de coordonnées (x, y, z, t) avec t le temps.
Or, on tombe rapidement sur un problème : qu'en est-il quand on change les règles du jeu, étudie les courbatures de l'espace ou d'autres phénomènes encore plus complexes. Après tout, comment observer les grandeurs les plus complexes si l'on ne les comprend pas ?
Cela, notamment en astrophysique où l'on étudie les modèles variés utilisés pour représenter le monde, en théorie des cordes ils sont indispensables là où on imagine un univers à 11 dimensions... et à au moins 10 ou au maximum 26. Dès alors, mener des calculs sur ces dimensions parait incompréhensiblement compliqué. Or, c'est là où un outil indispensable apparait : les tenseurs !
II - Les tenseurs et scalaires ; comprendre le monde.
La métaphore des dimensions vas vous être utile ici, un tenseur peut être vu comme un tableau de nombres organisé de d'ordre n.
Un nombre, comme trois par exemple est un tenseur d'ordre 0. On le nomme "scalaire".
Un vecteur, est un tenseur d'ordre 1 car il a une dimension.
Une matrice, est un tenseur d'ordre 2 car elle a deux dimensions.
Etc...
-Un tenseur d'ordre 0 a 1 composante.
-Un tenseur d'ordre 1 a 3 composantes.
-Un tenseur d'ordre 2 a 9 composantes.
-Un tenseur d'ordre 3 a 27 composantes.
D'où, pour un nombre n entier, le nombre de composantes sera 3^n.
Voici une représentation des tenseurs :
T_(a) ⮾ T_(b) = T_(c) où T_(c) est un tenseur d'ordre supérieur ou égal à l'ordre des tenseurs multipliés.
Plus précisément si T_(a) est d'ordre i et T_(b) d'ordre u alors l'ordre de T_(c) sera l'ordre i+u.
III - Notion de gradient.
Vous vous souvenez certainement des dérivées... après tout, je ne m'en attendrais pas à moins d'un lecteur de cet article !
Alors, imaginez vous ceci... on a une fonction avec plusieurs arguments, soit : f(x_1,x_2,x_3)=3x_1+2x_2-3x_3
Imaginons que l'on veut trouver le taux de changement d'une des variables, alors on prend la dérivée partielle d rond (il s'agit juste de la dérivée mais appliquée à une variable).
Maintenant, supposons que l'on veut représenter chaque dérivée partielle et avoir une idée.
Eh bien, c'est là où le gradient apparait.
Le gradient, c'est le vecteur où pour une fonction chaque coordonnée correspond à la dérivée partielle par rapport à un argument.
Soit, pour f(x)=x^2.
Le gradient est (2x), soit la dérivée de f(x).
Le gradient, est l'opérateur nabla ∇ : il s'agit d'un delta retourné à l'envers.
Il est surtout utile vu qu'il explique les variations spatiales d'une grandeur.
A) Propriétés.
On souligne un ensemble de propriétés pour le gradient qui sont utiles :
Pour deux fonctions f et g, ∇(f+g)=∇(f)+∇(g).
De la même manière, pour un produit : ∇(f * g) = f * ∇(g) + g * ∇(f).
Or, on observe que ces règles s'appliquent comme celles des dérivées, dès alors il n'est pas utile de citer les autres...
En effet, lorsqu'on multiplie un vecteur par un réel, on multiplie chacune de ses coordonnées.
De là, il suffit de prendre en compte que chacune des coordonnées va agir l'une avec l'autre, faisant en sorte que certes l'opération est le gradient mais le calcul se comporte comme celui des dérivées.
Dès alors, il suffit de retenir une règle importante, les règles pour les gradients sont les mêmes que celles pour les dérivées.
Prenons un autre exemple, imaginons que l'on veut le gradient d'un vecteur cette fois-ci :
On a : v(3x, 2y).
Soit, l'on veut je rappelle selon le vecteur du vecteur qui prend en compte les dérivées selon chaque coordonnée.
Or, l'opération ∇ permet d'obtenir la jacobienne en l'appliquant pour les champs vectoriels, ce qui est simplement la matrice, si l'on considère cela comme l'ajout d'une dimension et donc d'un ordre au tenseur d'ordre 2 ou au scalaire.
On calcule la matrice jacobienne en dérivant chaque composante du vecteur par rapport à toute ses variables. Chaque ligne de celle-ci correspond au gradient d'une composante du champ vectoriel.
Ainsi, l'on aura :
∇(v)=( ∂(3x)/∂x ; ∂(3x)/∂y
∂(2y)/∂x ; ∂(2y)/∂y )
Soit, la matrice :
∇(v) = ( 3 0
0 2 )
On parle cependant pas de gradient quand on applique l'opération ∇ à un champ vectoriel mais de matrice jacobienne.
D'où l'opération ∇ appliquée à un champ vectoriel s'appelle sa jacobienne.
Il est à noter que l'on utilise le gradient que dans un champ scalaire.
B) Les divergences !
Le divergence, peut être définie comme le produit scalaire de l'opérateur nabla et d'un vecteur v. Mathématiquement, elle décrit comment un champ vectoriel "s'éloigne" d'un point.
Pour être plus précis, il s'agit de la somme des dérivées partielles de chaque variable par rapport à elle-même.
D'où, l'on a :
v(v_x, v_y, v_z)
Ainsi : div(v)=∇.v = ( ∂(v_x)/∂x + ∂(v_y)/∂y + ∂(v_z)/∂z )
Les divergences, sont utiles sachant la densité "locale" de flux qui entre ou sort en chaque point de l'espace.
-Si la divergence est positive, le flux est sortant.
-Si la divergence est négative, le flux est entrant.
-Si la divergence est nulle, dans le cas où il n'y a pas de flux par exemple dans une bassine que l'on a remplie d'eau ou alors le flux sortant est localement égal au flux entrant, on parle de flux solénoïdal.
Un bon exemple de divergence nulle est le champ magnétique produit par un aimant, ce champ forme des boucles fermées du Nord au Sud d'où la divergence est nulle.
C) Notion de rotationnels.
On pose v(v_x ; v_y ; v_z).
Le rotationnel se définit, comme :
rot(v)=∇ ^ v = ( ∂/∂x ; ∂/∂y ; ∂/∂z) ^ (v_x ; v_y ; v_z)
Le rotationnel est le produit vectoriel de l'opérateur ∇ avec le vecteur v.
On procède au produit vectoriel ainsi :
-On barre la coordonnée du haut pour les deux vecteurs dans le produit.
-On fait le produit en croix, en faisant la différence, d'où l'on a :
∂z/∂y - ∂y/∂z
On considère ce résultat comme étant l'une des composantes du rotationnel et on répète le même processus de façon analogue.
D'où :
rot(v)= ( ∂z/∂y - ∂y/∂z ; ∂x/∂z - ∂z/∂x ; ∂y/∂x - ∂x/∂y )
Il nous donne trois informations :
-sa direction est celle de l'axe de rotation.
-sa norme donne la vitesse de rotation.
On utilise notamment le rotationnel afin de déterminer la vorticité :
De plus, la norme illustre bien l'intensité sachant que la vorticité est plus élevée pour z plus élevé, soit pour z=10 :
Ou encore, on l'observe encore plus pour z=-500 :
IV - Vecteurs contravariants et covariants.
La notion étant assez complexe, nous allons ici définir ces deux notions de la façon suivante bien qu'un approfondissement est nécessaire pour une compréhension plus complexe.
On considère une base avec deux vecteurs directeurs (i,j) et l'on applique à ceux-ci la transformation linéaire (10i, 10j).
Un vecteur contravariant correspond à un vecteur que l'on obtient par le biais d'une transformation des composantes (x,y) d'un vecteur I tel que ses coordonnées après transformation soient : I= ( (1/a)* x, (1/b)* y), avec a et b réels.
Un vecteur covariant est un vecteur qui correspond à une transformation inverse de celle effectuée pour obtenir un vecteur contra-variant avec pour un vecteur de coordonnées (x,y) que l'on nomme I' : I'= ( a* x, b* y).
En effet, si l'on étire les vecteurs directeurs par 10 :
-le vecteur contravariant aura ses coordonnées divisées par 10.
-le vecteur covariant aura ses coordonnées multipliées par 10.
Dans le cas où l'on raccourcit par 10 :
-le vecteur covariant aura ses coordonnées divisées par 10.
-le vecteur contravariant aura ses coordonnées multipliées par 10.
On garde ces définitions de la covariance et de la contravariance pour la compréhension du sujet.
La contravariance peut être vue comme la modification par une transformation "inverse" d'un élément d'un champ vectoriel pour un vecteur et la covariance peut être vue comme la transformation d'un vecteur en respect avec la transformation de ce même champ vectoriel.
Attention : on peut considérer une transformation non seulement comme linéaire mais comme étant la multiplication par une matrice, dans ce cas il faudra considérer la transformation "inverse" soit l'inverse transposé de la matrice pour un vecteur covariant. Cela, sachant que il existe d'autres transformations que celles utilisées en exemples.
Approfondissons.
Note : on considère un vecteur comme une matrice de dimensions 2*1.
Imaginons nous le vecteur
v ( 1 ; 3)
Maintenant, imaginez vous le vecteur :
u ( 10 ; 30)
On peut considérer le vecteur u le vecteur covariant de v suite à un étirement de l'espace vectoriel de 10.
De cette façon, définissons une matrice associée à la transformation, soit :
M = ( 10 0
0 10 )
On peut retrouver le vecteur le vecteur covariant par produit matriciel :
M * v = ( 10 0 ( 1
0 10 ) * 3)
D'où, par produit :
u = ( 10
30 )
Cela, car on considère la transformation comme la multiplication par 10 de x et de y et on considère cette matrice jacobienne où l'on prend en compte les dérivées partielles.
Pour un vecteur contravariant, on considère l'inverse de chaque élément de la matrice, ainsi :
M' = ( 1/10 0
0 1/10 )
De là, il suffit de faire un produit entre la matrice M' et le vecteur :
D'où : M' * v = ( 1/10 0 ( 1
0 1/10 ) * 3 )
D'où, l'on aura le vecteur contravariant :
v' = ( 0,1
0,3 )
Nous pouvons ainsi généraliser pour une transformation (x,y) -> (x', y') :
On associe aux coordonnées (x,y) le vecteur α.
Soit la matrice jacobienne :
A = ( ∂x'/∂x ∂x'/∂y
∂y'/∂x ∂y'/∂y )
Soit la matrice jacobienne où l'on considère l'inverse des coefficients de la matrice :
B = ( ∂x/∂x' ∂x/∂y'
∂y/∂x' ∂y/∂y' )
On obtient ainsi le le vecteur covariant en multipliant A par α et vecteur contravariant en multipliant B par α.
Note : dans ces exemples, l'on a considéré des matrices diagonales or l'on peut aussi considérer des matrices non-diagonales pour ces cas spécifiques.
V - Applications.
Ces notions possèdent plusieurs applications, mais j'aimerais en citer une qui m'a marquée personnellement.
Un exemple notable est pour le concours X-ENS ou après un passage en coordonnées polaires (pour résumer, on effectue la transformation (x,y) : (rcos(theta), rsin(theta)) on peut calculer le gradient du scalaire considéré et trouver un gradient nul qui nous permet de déterminer que alpha est égal à béta dans le contexte de l'exercice 1 sur le piège électrique.
Cette information, est déjà utile car dans le contexte dans la première question où il faut déterminer alpha et béta elle permet de se ramener à une seule variable avant de traiter dans le concret le problème.
On voit ainsi, déjà l'importance de cette notion quand elle apparait directement au sein d'un concours aussi rigoureux.
En parallèle, les usages sont variés :
-les tenseurs permettent d'approfondir notre compréhension du monde, et d'étudier la structure même de celui-ci notamment en électronique et en mécanique quantique.
-les gradients, permettent de décrire plusieurs phénomènes notamment thermiques avec l'un de mes favoris étant l'effet Seebeck qui permet d'exploiter un différenciel de température pour produire de l'énergie.
-la divergence, permet de décrire un flux dans un champ notamment en énergie voire même en fluide ce qui est indispensable pour comprendre les phénomènes électromagnétiques voire même les phénomènes de gravitation ou d'autres effets !
-le rotationel présente un réel intérêt pour comprendre les propriétés d'un fluide dans un champ vectoriel particulier.
VI - Conclusion.
J'espère, à travers cet article avoir fourni des bases solides et surtout vous avoir bien servis !
Ces notions sont indispensables dans les études supérieures, elles jouent un rôle majeur dans les calculs physiques avancés et permettent de mieux modéliser le monde avec les objets mathématiques que l'on possède pour le comprendre !
En tant que lycéen, on se sent souvent limité par la complexité de ces notions quand on fait face à certaines barrières liées à celles-ci or en vérité si l'on cherche à les comprendre et à mieux se les schématiser : on réalise que cela reste du domaine du compréhensible.
Après tout, le programme du supérieur est bien conçu pour les humains et que l'on soit en première, seconde ou terminale : on peut si l'on fournit un effort appréhender ces notions.
Il reste, à comprendre que il faudra appliquer ses notions de façon plus directe pour résoudre les problèmes présentés. Or, je suis certain que cela ne relève pas du domaine de l'impossible et que au contraire, n'importe qui peut mener une telle action dans le champ du concret.
Je vous remercie d'avoir lu mon article ! J'étais tombé malade entre le dernier article et celui-ci... ce qui m'a assez fatigué et empêché de poursuivre ma passion d'écrire !
J'ai réalisé, en écrivant cet article, aussi que j'aimerai étendre le champ de ma compréhension de certaines notions et aborder peut être des articles lourds qui traitent d'une notion de façon complète.
Cet article, n'a pas cité toutes les propriétés de ce qu'il promet mais a offert une bonne introduction aux tenseurs et notions de divergence et de rotationnels. Ainsi, j'aimerai également traiter davantage de notions physiques tout en traitant des notions mathématiques. Je me dis aussi qu'une encyclopédie sur numpy et matplotlib afin d'expliquer les différentes manières de les utiliser pour en exploiter la substance serait utile.
Dans tous les cas, le blog continue de prendre vie et d'avancer dans son objectif de compréhension de notions scientifiques avancées ce que je considère comme une réussite ! Au final, le fruit de mon travail a été aussi servi au menu aujourd'hui et malgré les efforts requis... je m'estime satisfait et content de ce que j'ai fait.
Je vous souhaite une bonne continuation, et en espérant que vous aussi vous puissiez vous dire content de votre travail et d'avoir lu jusqu'ici !
-DAOUADI Zine-Eddine.
Cet article est mis à votre disposition sous la licence Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0).
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