Les anneaux, groupes et corps et les applications en théorie des nombres.

 

En mathématiques, nous sommes souvent amenés à utiliser des ensembles de nombre.

En effet, nous nous souvenons tous du premier schéma en oignon qui décrivait leur fonctionnement, on avait :

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

⊂ signifie "inclus dans". 

On rappelle les propriétés de ces cinq ensembles de nombres.

Un nombre entier appartient à N si et seulement si il est compris dans l'intervalle [[ 0 ; + ∞ [[. Les doubles crochets mettant en avant que les valeurs prises dans l'intervalle sont entières. 

Soit, un entier naturel appartenant à N, est un entier non négatif et positif.

Note : il existe N*, qui est l'ensemble des entiers naturels non nuls. On peut considérer qu'un nombre n appartenant à cet ensemble appartient à l'intervalle ]] 0 ; + ∞ [[

Ensuite, nous avons l'ensemble des entiers relatifs Z, cet ensemble contient N mais aussi tout les entiers négatifs. 

Soit, il contient les entiers de l'intervalle ]] -∞ ; + ∞ [[ 

L'ensemble D contient les nombres décimaux. Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Soit, les entiers relatifs Z peuvent s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule soit 0. Ainsi, les entiers relatifs Z sont contenus dans les décimaux.

L'ensemble Q contient les nombres rationnels, soit tout nombre n, tel que l'on peut écrire n tel que le rapport de deux nombres a et b. 

Ainsi, un nombre n est un nombre rationnel si n=a/b. 

Ces nombres peuvent avoir un nombre infini de chiffres après la virgule.

Nous avons, après cet ensemble, l'ensemble des réels R qui contient tout les autres et les nombres irrationnels tels que √2. 

L'ensemble R est le plus couramment étudié au pré-bac et l'ensemble C approfondi en post-bac. Exception à maths expertes, où les élèves sont amenés à travailler sur ceux-ci et les étudier et leurs propriétés.

Finalement, nous avons l'ensemble C, qui contient tout les nombres de la forme z=a+ib, où i est l'unité imaginaire telle que i=√-1. 

Elle contient tout les réels et on appelle pour un nombre complexe z : a, la partie réelle et b la partie imaginaire. La partie imaginaire pouvant être nulle, on retrouve tout les réels.

Si a est nul, on a un nombre que l'on appelle "imaginaire pur" qui ne possède qu'une partie imaginaire.

Le nombre z=a+ib peut donc avoir une partie imaginaire et réelle, ou l'une des deux et l'ensemble des nombres complexes qui existent est appelé C.

Soit, on a le schéma suivant pour illustrer :

Note : il existe d'autres ensembles au delà de C. Or, les citer tous serait juste impossible car il existe une infinité d'ensembles de nombres ! On a, par exemple, les quaternions et les octonions, d'autres ensembles plus avancés. 

Pour les nombres, N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, on peut considérer les ensembles de nombres comme des poupées russes. 

On a une poupée russe contenue dans une autre poupée russe, contenue dans une AUTRE poupée russe... jusqu'à C. 

Voilà la beauté des nombres... 

I - Les anneaux.

On appelle un anneau un ensemble qui vérifie une loi de composition interne additive et multiplicative associative et distributive sur l'addition. 

La distributivité n'est donc pas affectée selon la position du facteur dans le produit. 

Oui, ce sont de grands mots mais on va prendre le temps de les expliquer.

Une loi de composition interne est une opération (addition, multiplication, division ou soustraction) par laquelle on associe à un élément d'un ensemble un autre du même ensemble, afin d'en produire un nouveau.

L'associativité peut se décrire ainsi, pour trois entiers a, b et c de l'ensemble :

(a*b)*c=a*(b*c) 

Ainsi, nous pouvons traduire simplement la définition d'un anneau :

On appelle "anneau" tout ensemble où l'addition de deux éléments de celui-ci résulte en un élément de l'ensemble et pour lequel la position des facteurs dans une multiplication ne change pas le résultat. 

Cette définition nous sera particulièrement utile, sachant que les anneaux ont une importance fondamentale (notamment comprendre leur propriétés).

Les anneaux admettent des sous-anneaux, l'anneau doit être stable aux propriétés d'un anneau dans l'ensemble dans lequel il est défini. 

II - Notion de Groupe.

Un groupe, est par extension, un ensemble qui admet une loi de composition interne associative qui admet trois propriétés :

-L'associativité : a*(b*c)=(a*b)*c pour a et b deux éléments de l'ensemble.

-La présence d'un inverse. Tel que pour x, on ait a*b=n et b*a=n avec b l'inverse de a et n l'élément "neutre".

-La présence d'un élément "neutre". Il s'agit d'un élément i tel que a*i=i*a=a. Dans les réels, il s'agit de 1 pour la multiplication. Les réels constituent un anneau "unitaire", "unitaire" voulant dire que l'élément neutre est 1 pour la multiplication. 

De plus, on établit la notion de groupe abélien.

Si un groupe admet une loi de composition interne commutative (soit on ne change pas le résultat en changeant l'ordre des opérations), on dit que un ensemble est un groupe commutatif ou un groupe abélien. 

Les groupes, admettent à l'instar des anneaux des sous-groupes. 

Question : L'ensemble des entiers naturels N est-il un groupe abélien ? 

Solution : 

On suppose par l'absurde que l'ensemble des entiers naturels est un groupe.

Or, s'il est un groupe, il admet un élément inverse tel que l'on obtient l'élément neutre.

L'inverse d'un élément n de N est 1/n, or 1/n n'est pas dans N car ne s'agit pas d'un nombre entier !

Ainsi, l'on déduit que l'ensemble N n'est pas un groupe et donc pas un groupe abélien car pour qu'un groupe soit abélien il doit déjà être un groupe. 

Attention : l'absence d'un inverse n'implique pas l'absence d'un élément neutre même si la présence d'un inverse implique celle d'un élément neutre. 

Exemple : 1 est l'élément neutre de N pour la multiplication car 9*1=1*9=9. Or, N n'admet pas d'inverse. 

Exemple 2 : Dans R, 2 admet un inverse qui est 1/2, 2*1/2=1 soit l'élément neutre, il y'a bien un élément neutre dans la multiplication dans R. L'élément neutre dans R pour l'addition est 0. 

III - Les corps (pas ceux humains) !

On définit comme auparavant ce qu'est un corps.

Un corps est un anneau commutatif unitaire pour lequel tout élément non nul a un inverse.

L'ensemble N n'est pas un corps, car à part 1 aucun élément n'a d'inverse pour la multiplication. 

IV - Allons plus loin !

On peut utiliser les anneaux, groupes et corps pour comprendre davantage sur les nombres et leurs propriétés mais également pour résoudre des problèmes assez compliqués.

En effet, pour les nombres modulo alpha, avec alpha un entier, on peut traduire l'opération "modulo" par simplement l'étude des éléments de l'ensemble Z/(alpha)Z.

Plutôt cool, non ? Cela admet immédiatement une myriade de propriétés dont le théorème de Wilson que l'on saura prouver avec une étude plus avancée de cet anneau. 

Il nous faudra cependant quelques notions en plus pour avancer.

Tout d'abord commençons par la présence d'"applications" dans des ensembles.

Vous vous souvenez des fonctions ? Imaginez vous des fonctions mais définies pour des ensembles.

On va les appeler des "applications". 

Par exemple : pour un ensemble A, on va dire qu'une application a de A fais passer un élément de A à un élément de l'ensemble B. 

Imaginez vous un salon de coiffure.

Vous êtes non coiffés, donc de l'ensemble A des non-coiffés.

Vous vous faites coiffer, on vous coiffe et l'opération de coiffer est l'application a. 

Une fois coiffés, vous payez et partez et vous faites partie de l'ensemble B des coiffés.

Vous avez subis l'application a que l'on pourrait définir par "se faire coiffer" et êtes devenus un élément de l'ensemble B des individus coiffés.

Oui, ça fait beaucoup de fois le mot "coiffer"... 

Les applications peuvent vérifier trois grandes propriétés : l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité. 

A) Injectivité.

L'injectivité se définit simplement comme étant si pour deux éléments a et b et une application f on a :

f(a)=f(b) alors a=b et f(a)≠f(b) donc a≠b. 

Note : on peut aussi appliquer l'injectivité aux fonctions normales.

Exemple : soit f(x)=x². Vérifions si la fonction est injective. 

Si a=b=1, alors on a f(a)=f(b)=1²=1.

Or, f(-1)=(-1)²=1 ainsi on a -1≠1 et pourtant f(-1)=f(1).

Cela contredit la propriété.

Ainsi f(x) n'est pas injective. 

B) Surjectivité.

La surjectivité quant à elle décrit le fait que tout élément d'un ensemble A passant par une application a dans B, on compte au moins dans B un élément de A. 

Simplement : tout élément de B est l'image d'au moins un élément de A. 

On peut, à l'instar de l'injectivité, appliquer cette propriété aux fonctions normales.

D'où : 

f(x)=x² est surjective dans [0 ; + ∞ [, car on associe à tout élément de x au moins une image dans [0 ; + ∞ [. 

C) Bijectivité.

Une application est bijective si et seulement si elle est injective et surjective.

La même chose se vérifie pour une fonction.

Exemple : f(x)=x est bijective. 

Une bijection est une application à la fois injective injective (images distinctes) et surjective (tout élément de l'intervalle de définition de x est atteint en sortie). 

Ainsi, nous avons clôt notre analyse pour ces trois propriétés. 

Nous approfondirons ces notions, et verrons ce qu'on peut en dériver par le futur. 

-DAOUADI Zine-Eddine. 

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