Mécanique quantique : du balais classique au balais quantique !

Cher lecteur,

Nous avons tous des histoires à raconter. 

Aujourd'hui je vais vous raconter comment une histoire absurde de balais m'a poussé à m'interroger sur un rapprochement que nous pouvons faire entre mécanique usuelle et mécanique quantique, afin de comprendre la transition en propriétés lorsque l'on change d'échelle !

Laissez moi vous raconter l'histoire de mon balais que j'ai bloqué dans le radiateur de l'internat de la réussite Jean-Zay.

Laissez moi vous raconter le récit :

Initialement, j'avais bloqué mon balais en tentant de bloquer le rideau avec car le rideau était attaché à un mécanisme complexe (je n'irais pas dans les détails). C'est alors que un beau matin en me réveillant, le mécanisme a dégénéré et j'ai bloqué et là : PAF ! Onde de choc (vraiment, ça a fait un bruit puissant), le balais est bloqué, et je le suis aussi ! En effet, face à une telle situation comment pouvais-je en parler à mes camarades ? J'ai bloqué mon balais dans ma chambre, entre mon mur et mon radiateur, vous pouvez m'aider ?

Ce balais fut un enfer à débloquer, j'ai fait des calculs de dérivée, modélisé d'autres trucs et essayé de faire des calculs plus semblables à des machinations que quelque chose de censé. Les jours passaient, et c'est devenu une blague à l'internat et surtout je n'aurais pas eu l'aide du Lion Marocain (un de mes amis, mais aussi un ange comme j'en ai jamais vu en terme de caractère et personnalité) pour le débloquer. 

Cela jusqu'à ce que l'aide de mon ami de Louis-Le-Grand, marié à cinq princesses, qui majore et fait preuve de toutes les caractéristiques d'un génie vienne m'aider (je vous rassure, c'est une blague entre nous).

Par sa force prodigieuse, qui a engendré une descendance et un héritage respectable, son esprit admirable capable de résoudre tout les problèmes et sa ruse comparable à celle de Zeus après avoir bloqué ma règle avec le balais dans le radiateur : il a réussi à résoudre la situation.

Par son aide, mon balais fut débloqué, et ma situation fut sauvée et je n'ai pas eu à m'expliquer à l'administration de l'internat.

En échange, autant dire que je lui devais beaucoup, du coup je lui ai passé mes desserts à la cantine au risque de me faire exécuter par le "cartel de LLG" : bref histoire usuelle à Jean-Zay ! 

Je tenais à encore, au sein de cet article remercier mon ami du Lycée Louis-Le-Grand pour sa prouesse intellectuelle, sa bonté et sa sagesse qui sont incomparables. C'est un vrai étudiant talentueux, et aussi un très bon ami qui m'a plus d'une fois surpris par sa bienveillance.

Mais au-delà du ridicule de la situation... ce balais qui m'a fait tant de souci, en quoi pouvons-nous le modéliser dans cet état ?

En effet, ce balais fut une horreur à gérer mais il m'a interrogé sur mon rapport à la mécanique.

Que se passe-t-il si en partant des lois de la mécanique, on modélise notre balais comme un oscillateur harmonique dans le cas où mon ami exerce une force sur celui-ci.

En effet, posons le bilan des forces.

Classiquement :

Système : { balais assimilé à un point matériel M }

Bilan des forces :

-Poids P :

P= -mg * u_z 

-Forces de frottements à l'air : 

F= -lambda * v * u_ z;

-Forces du bras (assimilé à un ressort, si vous pensez à one-piece suite à cette approximation sachez que moi aussi...) de mon ami de LLG : 

F_llg = -k * (x - l0) * u_x où k est la constante de raideur de son bras.

Alors, par Principe Fondamental de la Dynamique sur l'axe z.

Par ailleurs, étant donné à quel point la forme des équations est laide quand je les écrit sur mon blog et suite à une recommandation de mes camarades à Janson, on passe en LaTeX.

Or, nous pouvons alors nous demander ce qu'il se passe quand le masse diminue. Souvenons-nous de notre cours sur les particules (mon chapitre préféré d'ailleurs). Nous savons que quand la masse devient très très petite, la force du poids devient négligeable par rapport à la FEM (force électromagnétique).

Ainsi, réécrivons notre équation !

Néanmoins, lors du passage au régime quantique nous devons prendre en compte plusieurs hypothèses. 

Unes à unes :

-La dualité onde-particule (la particule admet un comportement simultanément semblable à celui d'une onde et d'une particule).

-Les valeurs deviennent discrètes (imaginez vous les fonctions en escalier du type valeur inférieure avec le temps).

-Le principe d'incertitude de Heisenberg, on ne peut pas connaître précisément la position et la quantité de mouvement d'une particule. 

Nous pouvons aussi faire mention honorable à l'effet tunnel stipulant que une particule a une probabilité non nulle de passer à travers une barrière de potentiel.

Face à ces hypothèses qui sont expérimentales, nos valeurs deviennent alors moyennes et nous allons les noter entre des "brackets" de la façon suivante :

< variable > 

où < et > sont les brackets.

On parle alors de mesure de la valeur moyenne, pour établir une estimation à haute précision.

Néanmoins, je vais préciser une hypothèse importante :

On suppose que le balais se comporte comme un oscillateur harmonique amorti (ce qui est confirmé si on résout pour le principe fondamental de la dynamique).

Pour passer au régime quantique, on vas alors supposer que pour ces mêmes valeurs moyennes à l'infini elles tendent vers une même valeur (on peut penser à la loi des grands nombres de façon analogue pour des variables aléatoires).

On vas prendre donc l'équation de Shrodinger, qui est l'équivalent du PDF (principe fondamental de la dynamique) pour les particules indiquant leur état selon le temps.

Le grand "H" ici, est nommé l'hamiltonien et on dit qu'il n'est pas hermitien lorsqu'il n'est pas égal à son propre conjugué transposé.

On peut alors identifier gamma selon le coefficient de frottement :

On arrive alors, après quelques manipulations à obtenir cette équation :

Nous pouvons la résoudre en passant par un processus assez extensif en lien avec le potentiel.

Néanmoins, vous me connaissez, je suis du genre à passer par trois cents chemins avant d'arriver à la solution (ce qui est mon plus grand défaut).

Je vous propose alors, avec moi de faire ces trois cent chemins (il y'en a moins) ! 

Résolvons notre équation.

On peut ainsi, à partir de Python représenter les solutions de l'équation.

Prenons ces paramètres :

hbar = 1.0          

m = 0.1             

k = 1.0            

l0 = 0.0            

lambda_ = 0.2      

q = 1.0             

E_field = 0.5       

Au cas où vous vous demandez, j'ai pris des variables adimensionnés ce qui justifie le hbar=1.0 même si ça me blesse autant l'âme que vous.

Voici le résultat :

Nous observons que nous avons une bosse pour le balai quantique, proche de la position d'équilibre.

De plus, sous l'effet du ressort et du champ électrique le centre du paquet fonce vers cette dernière.

On retrouve en plus le modèle de la Gaussienne, car les probabilités s'étalent avec la "bosse" usuelle pour les probabilités.

On sait alors la position où le balais a le plus de chances d'être trouvé. Oui, le balais quantique est donc a une position ou une autre au même moment, c'est absurde à imaginer mais le monde quantique nous le révèle. Une autre surprise de ce modèle est que le centre de notre balais mécanique, après passage au quantique n'est plus une position où l'on est sûr d'avoir notre balais quantique.

On est donc pas sûrs de le retrouver à l'origine, mais plus vers sa position d'équilibre, on a alors un flou quantique où l'objet n'est pas nécessairement confiné au fond de ses puits de potentiel.

II - Allons plus loin en modélisation.

Maintenant, j'aimerais cher lecteur vous présenter mon simulateur de mécanique quantique.

Vous vous souvenez très certainement, avec le plus grand amour des figures d'interférences et de ces belles formules à appliquer pour avoir un résultat.

Ah... la belle époque, avant la prépa où réviser 20 heures par jour et se priver de manger pour se punir d'avoir une mauvaise note sous l'excuse de "discipline" marchait... 

Spoiler : en prépa, ça ne marche PAS.

J'ai un diplôme de secouriste (PSC), mais ironiquement j'ai déjà dû être sauvé de la famine tant j'ai travaillé par mes camarades de classe qui se sont trop inquiétés pour moi (c'est des chous).

Revenons néanmoins au sujet, quand une particule touche un écran elle peut faire une figure d'interférence.

Néanmoins, on peut les modéliser par des approximations ésotériques (je dis ce terme, car j'ai dû faire des recherches qui m'ont pris un temps fou pour réussir à les modéliser) et obtenir des résultats proches de la réalité.

Cher lecteur, c'est exactement ce que j'ai fait.

Je vous amène dans le monde de mon simulateur de physique quantique !

https://github.com/DaouadiZine-Eddine/Quantum-Physics-Simulator-for-particles.

Pour le télécharger, il suffit d'aller sur la page, et suivre ces instructions :

-Cliquer sur "Code".

-Cliquer sur "Download ZIP"

-Attendez que le dossier ZIP ait été téléchargé.

-Une fois téléchargé, trouvez le dans votre explorateur de fichier et procédez à une extraction du dossier (vous pouvez utiliser 7zip si vous n'y arrivez pas, le logiciel est gratuit).

-Ouvrez le dossier, et lancez le fichier "French_Quantum_Simulateur.py".

Bienvenue sur le simulateur, vous pouvez naviguer avec les flèches sur votre clavier et utiliser la souris pour remplir les formulaires.

Maintenant, procédons à l'expérience :

Nous pouvons simuler approximativement le balais quantique en tant que particule, avec ces paramètres

et nous obtenons alors :

Oui, une figure d'interférences avec quelques franges lumineuses.

Qu'en déduire et pourquoi est-ce que ça a lieu ?

Pour vous dire la vérité, on simule ici le comportement ondulatoire d'une macro-particule, soit le balai quand il devient très petit. Les points visibles sont les points d'impacts individuels, et leur répartition suit la loi de probabilité qu'on a précédemment posé. De plus, les fentes sont hautes empêchant la dispersion de la particule vers le haut ou vers le bas.

Ce qu'il y'a de génial néanmoins ici, en poussant notre étude c'est que vous vous souvenez certainement des interférences constructives et destructives ?

Ici, on retrouve un résultat que j'adore personnellement.

Lorsque elles sont constructives, on a des zones où la probabilité de présence de la particule est maximale et lorsque elles sont destructives, il s'agit des zones où la probabilité est nulle.

On retrouve alors un autre intérêt de l'expérience des fentes de Young, identifier les potentielles positions d'une particule.

Pour notre balai quantique, on retrouve alors des différences entre notre première expérience et la seconde.

Pour la première, nous avions un puit de potentiel parabolique qui était unique et lié à V(z).

On avait alors des états stationnaires pour les fonctions propres de l'oscillateur, que quand n=0.

Soit une seule zone de probabilité maximale.

Pour la deuxième, la particule peut emprunter DEUX chemins distincts, sa fonction d'onde est alors la somme cohérente des deux ondes issues des fentes. On aura alors nécessairement des interférences, qui vont produire les zones lumineuses continues en plus.

Ce qu'il y'a de brillant est alors le fait que la première expérience nous démontre le comportement du balais quantique en tant que particule, et la seconde en tant qu'onde. De plus, en plus de ce comportement ondulatoire s'ajoute celui particulaire, où les interférences constructives donnent des informations sur les positions d'équilibre.

On retrouve alors le principe de dualité onde-particule dans le comportement où les circonstances définissent la manière dont notre balai évolue. 

Nos deux expériences illustrent ainsi respectivement le régime particulaire quantique et onde-particule quantique.

La seconde illustre surtout que pour un grand nombre de tirs du balais quantique sur l'écran, on peut savoir à peu près où notre balais quantique vas se situer.

On peut globalement même en déduire que la matière se comporte comme une onde de probabilité à partir de ces hypothèses sachant que le balais peut être ramené à une masse m quelconque.

III - Mais... et si on ajoutait plus de fentes ?

Cher lecteur, on peut alors aspirer à ajouter face à notre situation plus de fentes et comme j'aime les folies de grandeur (je suis en prépa, il ne faut pas s'étonner)... Voyons-voir ! Je précise néanmoins que je suis limité par la finitude de mon ordinateur, et la complexité de l'algorithme qui fait que pour 1 milliard de fentes ou TREE(3) fentes ce sera compliqué... (sans blagues).

Pour 3 fentes :

Pour 5 :

Pour 10 :

Pour 50 :

Pour 500 :

Pour 1000 :

100 000 fentes :

Et enfin POUR UN MILLION DE FENTES !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Comment justifier alors ce comportement pour notre balais quantique quand le nombre de fentes augmente ?

Notre dispositif pour un grand nombre de franges vas se comporter comme un réseau de diffraction, les pics deviennent alors très fins (maxima principaux). Ils sont séparés par des zones d'intensités quasi-nulle.

On observe alors pour les interférences seulement les pics d'ordre 1 et -1, le simulateur atteint alors ses limites par contre parce que les autres interfranges sont plus petites que les pixels même. L'aspect "vertical" des franges, vient de la hauteur des fentes qui prend le dessus sur la largeur.

Nous pouvons ainsi expliquer ce résultat.

Que se passe-t-il alors à l'infini ? Quand N tend vers l'infini, un réseau infini produit des pics de Dirac il devient très difficile de visualiser tout les ordres d'interférences et on obtient une série de raies quasi-ponctuelles ou de segments verticaux comme ici (bien que on en voit que DEUX).

Ainsi, l'on peut observer deux modèles différents qui nous guident chacun vers l'illustration de la dualité onde-particule dans le comportement de notre balais quantique.

Le balais quantique, change alors complétement et on se place dans le cadre d'une particule parcourant un réseau infini. On a une "invariance par translation discrète" (périodicité d) et les états électroniques deviennent ce qu'on appelle des ondes de Boch. Le balais quantique vas alors se comporter comme un électron libre dans un potentiel périodique (ça fait beaucoup de mots compliqués...). Il  s'agit du cas où on a un réseau infini, qui n'est pas continu. 

De plus, une expérience intuitive de pensée vous fera certainement réaliser que plus on ajoute de fentes plus l'espace entre les fentes tend vers 0. On en déduit qu'en faisant tendre N vers l'infini, cet espace vas tendre vers 0. Ce cas est celui où notre réseau infini est "continu" et alors toutes les fentes vont se transformer en une seule fente car la distance entre celles-ci est nulle (je suis désolé, mais mentalement c'est magnifique à visualiser).

Ainsi, pour un réseau infini non continu notre balai quantique vas se mettre à se comporter comme un électron dans un cristal.

Dans le cas d'un réseau infini continu, notre balai quantique vas se comporter comme une particule libre ne subissant pas de diffraction. Ce qui donnera exactement cette figure :

Il s'agit d'une tâche d'Airy, notre balai quantique peut alors :

-se propager comme une onde.

-diffracter par des obstacles, il peut contourner des objets.

-s'intriquer avec d'autres particules.

Elle peut surtout permettre de passer à travers des objets pour l'effet tunnel, pour notre balais quantique ce cas serait parfait car il indiquerait que il peut passer par n'importe quel endroit pour sortir du radiateur.

IV - Conclusion.

Nous avons abordés deux modèles pour analyser notre balai bloqué dans le radiateur.

Dans le premier modèle, nous avions un balais piégé dans un potentiel harmonique. 

Dans le second, le balais était libre et il était soumis à l'expérience des fentes de Young où on le tirait à la place des électrons sur l'écran. Il se propage alors sans potentiel.

Mais le radiateur possède deux "sorties", celle d'en bas et d'en haut.

On peut par analogie, ramener ces sorties à deux fentes distinctes.

L'espace extérieur au radiateur peut se ramener à l'écran de détection.

Normalement, le balais ne peut alors sortir que si mon ami de Louis le Grand donne une poussée suffisante (ce qu'il a fait) pour le dégager par le haut ou par le bas.

Néanmoins, dans le monde quantique la fonction d'onde du balais peut établir un effet tunnel avec ces mêmes deux sorties car elles sont ramenées à des fentes. 

On a alors une superposition cohérentes de deux chemins de sortie.

Ainsi :

Si N=1 donc seulement le haut car le bas serait bloqué par le tuyau, alors le balais quantique peut sortir car considéré comme une particule libre.

Si N=2, on a des interférences et le balais quantique peut quand même sortir et même produire une figure d'interférence sur l'espace extérieur.

Si N tend vers l'infini, mais que on a des sorties alignées, le balais ne peut sortir que par certains angles.

Si N tend vers l'infini, alors on aura tout simplement plus de parois au radiateur et le balais quantique vas pouvoir partir.

Les effets quantiques, vont en effet permettre au balais quantique de quitter le lieu où il était.

Néanmoins, à cause de ces mêmes effets la probabilité d'effet tunnel montrée par les figures d'interférences prouve une chose claire.

Le balais pourrait se libérer par lui-même, sans même que mon ami de LLG ait à se fatiguer.

Ainsi, on observe une différence entre mécanique classique et quantique.

En mécanique classique, ce dernier a dû faire preuve de sagacité, ruse et d'intelligence tactique pour débloquer mon balais.

En mécanique quantique, le balais quantique pourrait tout simplement se débloquer et il pourrait le faire même plus vite si le bras de mon ami s'appliquerait à celui-ci.

On en déduit alors que les différences entre mécanique classique et quantique, se caractérisent au niveau de la liberté de l'objet considéré et de son comportement. Le balais quantique sera plus facile à débloquer, mais attention il sera plus difficile à attraper : sa position vas changer très vite (sans parler des autres contraintes...).

En conclusion de cette étude, nous observons que même en partant d'un balai bloqué dans un radiateur, nous pouvons retrouver les lois fondamentales de la physique quantique. Ce résultat, en plus d'être intéressant nous guide vers une meilleure compréhension de la mécanique à l'échelle quantique, bien que j'aurais aimé abordé plus les aspects théoriques et expliquer ce qu'est un hamiltonien... Je suis préparationnaire, donc il reste dur de trouver du temps pour soi et en parallèle, même si je vise l'ENS Paris-Saclay en Physique j'ai des difficultés énormes à travailler (même si je suis loin d'être nul)...

Bref, on a tous nos défis et nos épreuves : je suis loin d'être parfait et je suis certain que cette modélisation même présente des défauts.

Mais c'est la détermination, et l'espoir de ramper à travers les flammes de l'enfer qui pousse l'être-humain à se surpasser même dans les terrains les plus dangereux...

Je propose de finir cet article avec légèreté, parlons de la fin de l'histoire du balais quantique.

Mon ami, m'a aidé à débloquer le balais avant de fuir avec... et l'ironie du sort a menée à une course-poursuite comique dans l'internat. Je l'ai cherché déterminé, me perdant dans les étages jusqu'à le trouver... il a manié mon balais comme une épée, ce qui était drôe et lui a donné du style mais il l'a gardé un peu. Cela avant qu'il me propose de récupérer le balais, après avoir écouté sa composition au violon, j'ai pris goût à sa musique et on a passé un moment à discuter mais aussi un moment à apprécier le pouvoir des vibrations de la nature. 

Le son, est un sacré calmant et j'ai adoré les morceaux qu'il a joué, bien que la musique est l'une des choses qui m'ait le plus aidé à survivre en classe préparatoire.

Cela, avant que enfin je ne récupère le balais et qu'il continue son DM.

Si tu lis ça, je te souhaite une bonne continuation mon cher ami sachant que tu as quitté l'internat.

En parallèle cher lecteur, je vous souhaite mes meilleurs vœux et de prendre soin de soi.

Sot que je suis, je me suis torturé en début de classe préparatoire.

Je travaillais trop, et de façon inefficace et je stressais trop.

J'ai surtout chuté mentalement, après avoir perdu la seule chose qui définissait ma valeur à mes yeux : "l'excellence académique" un mot couvert de ténèbres lumineuses.

Porter le masque du succès pour cacher ses fragilités, porter la lumière pour cacher ses ténèbres et jouer au bal de la flagornerie académique.

La prépa m'a interrogé et détruit ce paradigme, tout simplement parce que au niveau où je suis, beaucoup de ceux qui réussissent sont moins ceux qui sont sérieux et travaillent que ceux qui ont juste du talent.

J'ai des souvenirs amers de faire des TD en entier, seulement pour avoir moins en colle que mes camarades qui se targuaient d'avoir passé la semaine à jouer aux jeux-vidéos. Aux jeux-vidéos, alors qu'ils jouent leur avenir sur ces deux ans...

Une expérience qui était unique...

Il y'a un moment où les lois de la nature dominent sur la nature, et la volonté de l'être-humain ne peut rien faire pour la contrer.

J'ai accepté cela après m'être privé de manger pour plus travailler, avoir passé des soirées à pleurer, pas dormir et souffrir.

Alors, j'ai laissé aller.

J'ai abandonné le "stress" parce qu'il ne sert à rien quand l'univers devient un jeu de hasard bien guindé.

Quel est l'intérêt d'avoir peur, d'avoir de la colère et de ressentir des émotions négatives pour des variables que je ne peux pas contrôler ?

Alors, j'ai laissé aller.

J'ai fait le travail, sans attentes car j'en ai eu marre de ce système hypocrite.

Cela alors que la réalité est bien complexe, problèmes familiaux, peur de tout, anxiété... la prépa pour moi est plus l'illustration de la folie mondaine que de la grandeur des humains qui se dépassent. Je n'ai même pas parlé des anecdotes les plus dingues, où certains de mes amis sont tombés par terre en les entendant.

On ne se dépasse pas en employant le talent, je dirais qu'au contraire, on régresse et on élève l'égo des âmes fortunés.

Le problème c'est que c'est exactement ce que le système veut.

Le système veut une élite prodigieusement stupide, et des penseurs prodigieusement faibles pour mieux les contrôler et les vendre aux grandes industries : ce qui a déjà été relevé par plusieurs polytechniciens d'ailleurs... 

J'ai donc arrêté de stresser et mes progrès, me poussent ultimement à poursuivre un dernier rêve qui est le dernier fil sur lequel tient ma prépa.

L'ENS par dossier en physique, car je peux y arriver. J'ai déjà fait mes preuves de façon très significative en physique.

Je le sais, car je vais tout donner et si je n'y arrive pas tant pis... personne dans ce monde peut avoir la prétention d'avoir fait tout ce que j'ai fait sans être passé par la prépa.

...

Wow, passage assez chargé mais bon, au moins on tient.

Prenez soin de vous car la santé compte, cher lecteur.

A bientôt !

Cordialement,

DAOUADI Zine-Eddine.

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