Les mathématiques & l'économie : l'union fait la force.
Bonjour,
Cher lecteur,
Mon blog aspire à vous renseigner sur la science et les mathématiques comme vous le savez... or le mot "sciences" est vague. En effet, la plupart des disciplines peuvent être ramenées à des sciences :
Un auteur est un scientifique de l'imaginaire, qui expérimente sur les mots pour vous faire éprouver des mondes fictifs.
Un anthropologue est un scientifique des sociétés, un sociologue des comportements humains et un historien de l'espace-temps.
Il en découle, qu'on ne peut donc pas dire que l'économie n'est pas une science. En effet, l'économie et son étude constituent une démarche que l'on pourrait qualifier de scientifique. On cherche à établir des modèles, à trouver des critères de reproductibilité pour des marchés variés, de donner du sens à l'insensé des marchés et d'arriver à construire des lois pour caractériser le monde et la vie en lui.
L'argent doit toujours affluer, être supervisé et régit même la politique.
Mayer Amschel Rothschild a même affirmé : « Donnez-moi le contrôle de la monnaie d’un pays, et je me moque de qui fait ses lois. ».
L'argent est donc une force politique, sociale et même sociétale. Mais comment l'obtient-on, ou peut-on espérer l'avoir ? Cette question bien que complexe, est celle que l'on se pose le plus aujourd'hui.
La finance, possède un lien étroit avec les mathématiques à la fois dans l'étude de modèles probabilistes dans les marchés et la prévision de risques pour des portes-feuilles mais aussi des actions et leur étude.
C'est dans cette mesure, que je vais vous inviter à durant notre réflexion interroger non pas le rapport à l'argent mais les manières dont on étudie les phénomènes qui régissent les monnaies.
Nous chercherons ainsi à comprendre à quoi consistent les méthodes mathématiques financières appliquées aujourd'hui sur le marché, et la manière dont elles sont mises en place par le biais de la programmation mais aussi de simulations en probabilités.
Pour ce faire, nous étudierons en premier lieu les chaînes de Markov comme outil mathématique élémentaire de modélisation en finance dans un cas élémentaire avant de s'intéresser à la loi de Poisson dans un cas pratique où l'on s'immergera dans l'étude des sinistres.
Commençons l'article !
I - Commençons simplement, quels problèmes sont difficiles à traiter en finance ?
Plusieurs problèmes se posent en finance, où l'emploi des probabilités peut être pertinent.
Par exemple, comment en considérant une certaine quantité n d'actions évaluer la manière dont un portefeuille va changer si l'on estime leur comportement avec des probabilités ?
De même, on peut alors modéliser l'évolution selon des estimations approximatives des choix les plus avantageux.
L'un des problèmes les plus notables dans l'étude des marchés est leur imprévisibilité, Newton après l'effondrement de la bulle spéculative de la Compagnie des mers du Sud en 1720, a bien affirmé "Je sais calculer le mouvement des corps pesants, mais pas la folie des foules.".
Plus largement, on a l'évolution d'un portefeuille : en effet, un portefeuille peut soit voir ses actions monter, diminuer ou stagner autour de certaines valeurs. Ce n'est pas un problème facile à traiter, notamment pour les Quant où l'on emploie la programmation pour tenter de modéliser le marché et son évolution.
Prenons l'exemples des Quant, dont on parle tant.
Les Quant, qui sont-ils ?
Selon le dictionnaire d'Oxford, un Quant est une personne dont le travail est d'analyser des situations ou des marchés financiers en utilisant et en développant des modèles mathématiques et statistiques avancés.
On parle plus largement de finance quantitative. Une finance où l'on cherche à cerner le marché par des méthodes algorithmiques et heuristiques variées afin de prendre des décisions.
C'est le domaine des mathématiques où la concurrence est la plus intense, les plus fortes têtes allant en finance pour espérer faire de l'argent : plusieurs masters existent pour devenir Quant, mais le plus prestigieux et convoité est le El-Karoui de l'Institut Polytechnique de Paris. D'autres de l'ENSIMAG, voir des instituts des prestigieuses écoles du concours Mines-Pont et Mines-Télécom. Des noms qui évoquent des songes au sein de tout préparationnaire, quant à une carrière réussie.
Certains problèmes qu'ils traitent sont liés à la tarification des produits dérivés, la construction de stratégies de Machine Learning pour faire du trading et bien d'autres choses.
Les Quant sont très bien rémunérés, mais ils font parti d'un vivier de financiers qui raisonnent et emploient les outils entre leurs mains pour répondre aux demandes du marché.
Il sera donc question d'étudier certains des outils utilisés par ces Quant, sans aller trop en profondeur, et de s'interroger concrètement sur comment peut-on établir des liens entre les mathématiques et la finance à l'instar des ingénieurs qui utilisent leurs outils techniques pour résoudre des problèmes.
II - Quels outils mathématiques pouvons-nous utiliser alors, pour approfondir nos études ?
A ) Les chaînes de Markov.
Je me souviens d'un TIPE qui était assez original, dont le titre était "Comment vais-je devenir riche avec mon TIPE ?" rédigé par d'un camarade.
Le TIPE portait sur le marché, et comment on peut modéliser son évolution : la stratégie utilisée était une interpolation de Lagrange mélangée à du Machine Learning, ce qui en faisait un sujet intéressant malgré les limites claires (cf. Citation Newton).
Ici, nous possédons des outils assez intéressants pour traiter de tels problèmes mais notamment ceux liés à cet aspect chaotique que j'ai mentionné : on peut représenter ce "chaos" (bien que de façon évidemment imparfaite) par des probabilités.
Pour cela, introduisons un classique : on est plus au lycée, ça sert absolument à RIEN d'apprendre des trucs par cœur, désormais il faut apprendre à penser. C'est ça, le monde réel.
Néanmoins, on peut se souvenir des outils que l'on a commencé à voir dans l'enseignement supérieur.
Pour ce faire, quoi de mieux que les chaînes de Markov ? Utilisées par Leslie pour l'étude des populations de souris, classiques des classes préparatoires, indispensables pour prévoir le comportement d'un objet au cours du temps : il s'agit d'un modèle robuste pour modéliser l'évolution d'un portefeuille.
Voici la théorie du modèle :
Dès lors, il devient très rapide d’étudier le comportement des probabilités : il suffit d’´élever les valeurs propres à la puissance n. Or, on en a N d'entre elles, et par décalage de bits cela a un cout algorithmique constant. Cela permet d’obtenir efficacement la distribution à n’importe quel instant et d’en déduire le comportement asymptotique.
Plutôt utiles non ?
B - Application à un cas réel.
Prenons un cas particulier.
Soient trois états initiaux pour un portefeuille.
On s'intéresse à un pays X, où l'on veut savoir s'il vaut le coup ou non d'investir avec un portefeuille en celui-ci.
On a un portefeuille qui peut soit voir sa valeur augmenter de 15 euros au cours du mois n, soit la voir diminuer de 20 euros, soit la voir stagner et ne pas bouger (en supposant que les changements mineurs soient négligeables).
Soit l'on pose les évènements :
H : hausse de 15 euros.
D : diminution de 20 euros.
S : stagnation (+0 euros).
On pose : P(stagner)=1/4 ; P(augmenter)=3/8 ; P(diminuer)=3/8.
Comment notre portefeuille, va-t-il évoluer ?
Passons au formel.
On suppose :
Soit, le portefeuille est initialement en hausse au mois 0.
Finalement :
Soit, asymptotiquement :
On en déduit que à très long terme, le portefeuille passe 38,1 % du temps en hausse, 33,3 % en stagnation et 28,6 % en baisse.
On obtient même, de cette façon, l'espérance du gain :
L’espérance du gain est positive pour tout n fini, mais elle décroît exponentiellement vers 0. À long terme, l’avantage initial s’estompe et le gain espéré tend vers 0.
On en déduit que la configuration du marché est alors avantageuse pour le portefeuille dans le pays X.
Cet exemple, illustre comment on peut utiliser les matrices pour mener à bien une étude de ce qu'il est possible de faire dans le champ des mathématiques.
Néanmoins, pour d'autres applications on s'intéresse à des variables aléatoires suivant des lois spécifiques.
Introduisons alors de nouvelles lois !
II - Aller plus loin : Bienvenue à la loi de Poisson !
A - Présentation du modèle.
Vous avez 27 ans, vous êtes dans une entreprise de gestion de fonds et vous gagnez bien votre vie : vous êtes marié, vous avez deux enfants, et une situation financière agréable (bravo vous avez fait l'impossible dans cette économie).
Néanmoins, votre entreprise passe par une période difficile, en effet l'impact de l'IA a fait que celle-ci commence à arriver dans votre travail et des salariés se font remplacer par inefficacité.
De là, vous êtes épris d'une peur totale, vous avez peur de tout perdre : votre femme vous divorcera surement si vous perdrez votre travail, elle prendra les enfants.
Votre patron s'approche de vous et contrairement à vos peurs vous annonce que vous devez travailler sur un modèle prédictif des sinistres à venir pour le mois.
En effet, votre patron veut que vous modélisiez la fréquence des sinistres sur un ans à partir des données de l'an dernier et que vous fassiez un bilan.
Pas si compliqué, à condition d'utiliser les bons outils.
Néanmoins vous êtes confrontés à un choix : votre collègue, vous a conseillé d'utiliser la loi de Poisson mais vous hésitez à explorer d'autres pistes. Que faire ?
Enfin avant de commencer cet article je me dois de préciser que, la loi de Poisson n'a pas de lien avec Jésus Christ (il faut être cultivé pour la comprendre cette référence).
La loi de Poisson modélise le nombre d'occurrences d'un évènement aléatoire rare se produisant dans un intervalle de temps fixe.
On la note P(λ) où le λ est le "paramètre" de la loi de Poisson, le paramètre étant strictement positif.
Le λ correspond au nombre moyen de fois que l'évènement rare étudié aura lieu, concrètement on approche λ comme une fréquence.
Par exemple, considérons l'évènement "Le nombre de "sauts" de prix d'une action en deux heures.".
Le paramètre λ nous indiquera le nombre moyen de sauts de l'action étudiée en deux heures.
En effet, λ possède plusieurs interprétations et c'est l'un des avantages d'utiliser cette loi : on a plus besoin de calculer la variance et l'espérance.
Autant dire, cela est optimal car il nous suffit juste de calculer λ pour avoir toutes les informations sur notre variable aléatoire.
C'est bien plus avantageux en complexité de travailler juste sur une variable, sachant que l'on peut se ramener à de très bonnes performances par l'usage de cette loi.
Si λ est petit, les évènements sont rares et sinon ils sont grands.
Formellement, ces propriétés s'illustrent par :
Pour la preuve : utilisez la définition de l'espérance et réarranger, c'est très rapidement visible car on reconnaît une exponentielle qui va annuler l'autre et il ne restera que un lambda qu'on aura sorti pour trouver ce que l'on voulait, il suffit de travailler sur le support ce qui nous montre une série et les plus futés reconnaîtrons une série sur laquelle vous avez déjà dû travailler...
La loi est "belle" à voir car elle semble cohérente, le moment d'ordre n est lambda puissance n et la variance est aussi facile à voir.
Ce qui est intéressant, c'est la propriété "d'équidispersion" : la moyenne est égale à la variance.
De même, un autre avantage lorsque cette loi fut découverte était qu'elle était excellente pour faire des approximations pour la loi binomiale quand n devenait très grand :
Historiquement, c'était extrêmement avantageux car ça nous permettait de prévoir le comportement asymptotique d'une variable aléatoire, et puis sans blague qui vas aller calculer ce monstre pour n très grand :
On pourrait argumenter qu'on pourrait utiliser les développements limités en 0 car un des termes tend vers 0 si l'on ajuste p et l'on pourrait avoir une forme (1+x)^(alpha).
Mais bon courage alors pour calculer le coefficient binomial !
Par conséquent, calculer ça était beaucoup plus facile, surtout si l'on s'arrangeait pour avoir lambda moins grand et k petit et calculer des puissances est beaucoup moins difficile que calculer des coefficients binomiaux à l'infini pour une certaine probabilité :
D'ailleurs, même les limites de cette approximation peuvent être soulevées : en effet, on a une approximation pour l'approximation quand elle devient compliquée.
De plus, l'approximation était considérée satisfaisante pour lambda >= 30, ce qui fais que rapidement on a pas besoin d'aller plus loin que des 29^k (même si franchement ça devient déjà dur de là).
II - Sauvons notre emploi (et notre mariage) !
Maintenant, comment nous employés de bureau allons l'appliquer pour la fréquence des sinistres ?On va alors, se mettre dans un bon cadre et s'imaginer un énoncé :
Par pur souci de simplification, on prendra la valeur 4 pour les conducteurs ayant quatre sinistres ou plus.
De plus, l'on en déduit :
On a donc, à peu près sept fois moins de sinistrés que de prévu...
où n est le nombre de conducteurs, c le cout moyen et l'on reconnaît la variance.
II - Conclusion.
Cet article est plus court que les précédents, mais je manque de temps hélas pour écrire.
La finance et les mathématiques sont des domaines absolument fascinants, tant dans leurs aspects sociaux que dans leur rôle dans le maintien de la stabilité du système capitaliste dans lequel nous vivons.
Ici nous avons eu la chance d'étudier une petite partie des applications possibles de la finance en mathématiques.
Les chaînes de Markov, comme nous l'avons vu, réussissent à modéliser l'évolution d'un portefeuille sur des fluctuations discrètes. Là où la loi de Poisson permet d'établir de bonnes approximations avant d'arriver à une loi binomiale négative, voire même d'avoir une vision exacte de la rareté d'évènements tels que les sinistres.
C'est ainsi que se conclut pour l'instant notre étude des applications des mathématiques en finance, bien que l'on peut vraiment aller loin avec certains modèles comme Black-Sholes qu'il me resterait à détailler.
Quant au futur du blog...
Ce blog marquera une pause de 12 mois : le temps pour moi de me consacrer pleinement à mes études.
Pour les futurs articles... j'aimerais soit faire plus de finance pour réorienter le blog soit partir sur davantage de vulgarisation scientifique : tout dépendra de mes goûts.
Enfin, j'ai des doutes sur la qualité de mes écrits.
Je suis conscient que mon style peut parfois sembler digressif, je suis encore en apprentissage, le recul viendra avec le temps et la pratique.
Si vous avez des conseils à me donner, ou des retours à faire n'hésitez pas à laisser un commentaire sachant que je n'ai pas vu de commentaire.
Cela malgré plus de 1500 vues depuis la création du blog ! Vos retours me seraient précieux, pour repérer les axes d'amélioration de mon blog.
Sur ce, cher lecteur,
prenez soin de vous et continuez de lutter pour réussir dans votre vie !
Cordialement,
DAOUADI Zine-Eddine.
PS :
Mon site web est juste ici par ailleurs si ça vous intéresse, et je sais que l'interface vous fera penser à de l'IA mais non c'en est pas, ce sont juste des terribles décisions esthétiques de ma part...
https://daouadizine-eddine.github.io/daouadizineeddine.github.io/index.html
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